Question

已知直线kx-y+1=0,与圆c：x2+y2-4x-5=0求当k变化时,直线l被圆截得弦的中点的轨迹方程

Answer 1

设直线kx-y+1=0与圆c：x2+y2-4x-5=0有两个交点,交点的坐标分别为（X1,Y1）,（X2,Y2）.则直线l被圆截得弦的中点横坐标为 (X1+X2)/2,纵坐标为(Y1+Y2)/2.

由x2+y2-4x-5=0和kx-y+1=0组成方程组,又 （2k-4）*(2k-4)+16（k*k+1）>0,可得X1+X2=(2-k)/(k*k+1),带入直线方程(Y1+Y2)/2=k*(X1+X2)

整理得 y=(2k-k*k)*x/2(k*k+1)+1

直线l被圆截得弦的中点的轨:y=(2k-k*k)*x/2(k*k+1)+1