解题思路：（1）求出原函数的导函数，由导函数在不同区间内的符号得到原函数的单调期间；
（2）利用导数求出函数y=f（x）在点x=1处的切线，得到切线在两坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式得答案．
（1）∵f′(x)＝
3
x−x+2＝
3−x2+2x
x＝−
x2−2x−3
x(x＞0)．
由f′（x）＞0，得x2-2x-3＜0，即（x+1）（x-3）＜0，∴0＜x＜3．
由f′（x）＜0，得x2-2x-3＞0，即（x+1）（x-3）＞0，∴x＞3．
故f（x）在区间（0，3）上是增函数，在区间（3，+∞）上是减函数；
（2）∵f′（1）=3-1+2=4，f(1)＝−
1
2+2＝
3
2，
∴切线的方程为y−
3
2＝4(x−1)，即y＝4x−
5
2．
从而切线与两坐标轴的交点坐标为(0，−
5
2)和(
5
8，0)．
故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 S＝
1
2×
5
2×
5
8＝
25
32．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了三角形的面积，是中档题．