Question

已知椭圆x24+y23＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P、Q，则△F1PQ内切圆面

Answer 1

解题思路：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F₁PQ的周长是定值8，所以只需求出△F₁PQ面积的最大值．故可求△F₁PQ内切圆面积的最大值．

因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F₁PQ的周长是定值8，所以只需求出△F₁PQ面积的最大值．

设直线l方程为x=my+1，与椭圆方程联立得（3m²+4）y²+6my-9=0，

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y1+y2＝−

6m

3m2+4]，y1y2＝−

9

3m2+4，

于是S△F1PQ＝

1

2|F1F2|•|y1−y2|＝

(y1+y2)2−4y1y2＝12

m2+1

(3m2+4)2．

因为

m2+1

(3m2+4)2＝

1

9m2+15+

1

m2+1＝

1

9m2+9+

1

m2+1+6≤

1

16，

∴S△F1PQ≤ 3

所以内切圆半径r＝

2S△F1PQ

8≤

3

4，

因此其面积最大值是

9

16π．

故选D．

点评：

本题考点： 椭圆的简单性质．

考点点评： 本题以椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系，考查面积的最值，解题的关键是转化为求△F1PQ面积的最大值．