已知抛物线y=x2-4x+3与x轴交于两点A、B(A在B左侧),与y轴交于点C.

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  • 解题思路:(1)把点M的坐标代入解析式,运用反证法就可以证明出结论.

    (2)由抛物线的解析式可以求出OC、OB的值,得出OC=OB,由△BOC是直角三角形,就可以求出∠ABC=45°.

    (3)由BC是直角边,当∠PBC=90°时可以求出此时P的值,当∠PCB=90°时,可以求出P1C的解析式,根据抛物线与直线的交点坐标而求出此时P1的坐标.

    (1)假如点M(m,-3)是在该抛物线上,

    ∴-3=m2-4m+3,

    ∴m2-4m+6=0.

    ∴△=(-4)2-4×1×6=-8<0,

    ∴此方程无实数解,

    ∴对于任意实数m,点M(m,-3)是不在该抛物线上.

    (2)当y=0时,x2-4x+3=0,

    ∴x1=1,x2=3,由于点A在点B的左侧,

    ∴A(1,0),B(3,0).

    当x=0时,y=3,

    ∴C(0,3),

    ∴OB=OC=3.

    ∵∠COB=90°,

    ∴∠OBC=∠OCB=45°,

    即∠ABC=45°.

    (3)假设存在△PBC是以BC为直角边的直角三角形.当∠PBC=90°时,∵∠ABC=45°,

    ∴∠PBO=45°,

    ∴P(2,-1);

    当∠PCB=90°时,设直线PC交x轴于Q,

    ∵∠ABC=45°,

    ∴∠BQC=45°,

    ∴OQ=OC=3,Q(-3,0),

    设直线PC的解析式为y=kx+b,则,

    3=b

    0=-3k+b,

    k=1

    b=3,

    ∴直线的解析式为:y=x+3.

    ∵点P在抛物线上,

    y=x+3

    y=x2-4x+3,

    解得.x1=0(舍去),x2=5

    ∴当x=5时,y=8,此时P1(5,8)

    ∴存在点P(2,-1)或(5,8)使得△PBC是以BC为直角边的直角三角形.

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题;二次函数图象上点的坐标特征;等腰直角三角形.

    考点点评: 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求一次函数解析式的运用,根的判别式的运用,直角三角形的性质及运用.