Question

平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+4a+c与x轴交于点A、B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为（1，

Answer 1

（1）抛物线的对称轴为直线x=-[?4a/2a]=2，

∵点A（1，0），

∴点B的坐标为（3，0），

∵点C在y轴的正半轴，OB=OC，

∴点C的坐标为（0，3），

∴

a?4a+4a+c＝0

4a+c＝3，

解得

a＝1

c＝?1，

∴此抛物线的解析式y=x²-4x+3；

（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），

则

3k+b＝0

b＝3，

解得

k＝?1

b＝3，

∴直线BC的解析式为y=-x+3，

∴PQ=（-x+3）-（x²-4x+3）=-x²+3x=-（x-[3/2]）²+[9/4]，

∵点Q在x轴下方，

∴1＜x＜3，

又∵-1＜0，

∴当x=[3/2]时，PQ的长度有最大值[9/4]；

（3）如图，设△ABC的外接圆的圆心D，

则点D在对称性直线x=2上，也在直线BC的垂直平分线y=x上，

∴点D的坐标为（2，2），

∴外接圆的半径为

(3?2)2+22=

5，

∵OB=OC，

∴∠ABC=45°，

∴∠AMC=45°时，点M为⊙D与对称轴的交点，

点M在点D的下方时，M₁（2，2-

5），

点M在点D的上方时，M₂（2，2+

5），

综上所述，M（2，2-

5）或（2，2+

5）时，抛物线的对称轴上的点M满足∠AMC=45°．