Question

已知点C（0,1）,A,B是抛物线Y=X^2上不同于原点的相异的两动点,且向量OA点向量OB=0 一问：证明向量AC与

Answer 1

(1).设AB:y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2) OA?珺=0 即x1x2+y1y2=0 即x1x2+(x1x2)^2=0 显然x1x2≠0 所以x1x2=-1 联立AB与抛物线的方程,消y,得：x^2-kx-b=0 由韦达定理得：x1x2=-b=-1 所以b=1 AB:y=kx+1 所以x=0,y=1恒是y=kx+1的解 所以AB恒过C 所以A,B,C三点共线 (2).因为A,M,B三点共线 所以 可设M(x0,y0),其中y0=kx0+1 OM=(x0,y0) 因为直线AB的方向向量为(1,k) 所以令(x0,y0)?,k)=0即可 得：x0+ky0=0 又因为y0=kx0+1 消k得：x0^2+y0^2-y0=0 所以M的轨迹方程为x^2+y^2-y0=0