解题思路：（1）判定直角三角形△ECG和△EFG全等，和全等三角形对应边相等的性质；
（2）判定直角三角形△ECG和△EFG全等，和全等三角形对应边相等的性质；
（3）判定△ECG和△EFG全等，根据全等三角形对应边相等性质即可证明．
（1）∵E是BC的中点
∴BE=CE
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE
∴BE=EF，
∴EF=EC；
同样，在折叠中，∠B=∠EFA=90°
又∵∠C=∠B，∠EFG=∠EFA
∴∠C=∠EFG=90°
∵EG=EG，
∴△ECG≌△EFG
∴FG=CG；
（2）不会改变．
证明：连接EG
∵E是BC的中点
∴BE=CE
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE
∴BE=EF，
∴EF=EC；
同样，在折叠中，∠B=∠EFA=90°
又∵∠C=∠B，∠EFG=∠EFA
∴∠C=∠EFG=90°
∵EG=EG，
∴△ECG≌△EFG
∴FG=CG；
（3）不会改变．
证明：连接EG、FC
∵E是BC的中点
∴BE=CE
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE
∴BE=EF，∠B=∠AFE
∴EF=EC
∴∠EFC=∠ECF
∵矩形ABCD改为平行四边形
∴∠B=∠D
∵∠ECD=180°-∠D，∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D
∴∠ECD=∠EFG
∴∠GFC=∠GFE-∠EFC=∠ECG-∠ECF=∠GCF
∴∠GFC=∠GCF
∴△ECG≌△EFG
∴FG=CG
即（1）中的结论仍然成立．
点评：
本题考点： 四边形综合题；直角三角形全等的判定．
考点点评： 本题考查了学生对直角三角形全等的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质．