解题思路：（1）连接OP，利用圆周角定理可得出∠BOP=2∠BAP，然后代入弧长公式即可求出
BP
的长度．
（2）连接AC，则可判断AP是线段BC的垂直平分线，在Rt△ACE中，求出AE，从而得出BE，再由Rt△AEF∽Rt△CEB，利用相似三角形的性质即可得出EF的长度．
（3）若以点E、O、F为顶点的三角形与△BAP相似，则有∠EOF=∠PAB或∠EOF=∠ABP，然后分别求出AE的长度即可．
（1）连接OP，
∵AB=10，
∴OB=5，
又∵∠BAP=30°，
∴∠BOP=60°，
∴
BP=[60×π×5/180＝
5π
3]．
（2）连接AC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠APB=90°，
又∵CP=BP，
∴AP是线段BC的垂直平分线，
∴AC=AB=10，
在Rt△ACE中，AE＝
AC2−CE2＝
102−82＝6，
∴BE=4，
又∵Rt△AEF∽Rt△CEB，
∴[EF/BE＝
AE
CE]，[EF/4＝
6
8]，
∴EF=3．
（3）若以点E、O、F为顶点的三角形与△BAP相似，则有∠EOF=∠PAB或∠EOF=∠ABP，
①当∠EOF=∠PAB时，此时△AOF为等腰三角形，点E为AO的中点，即AE=[5/2]；
②当∠EOF=∠ABP时，OF∥BP，
此时OE=5-AE，BE=10-AE，
∵Rt△EOF∽Rt△EBC，
∴[OE/EB＝
OF
BC]，[5−AE/10−AE＝
1
4]，
∴AE=[10/3]．
点评：
本题考点： 圆的综合题．
考点点评： 此题属于二次函数的综合题，涉及了圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质，本题的难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解，难度较大．