Question

已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切．过点P（-4，0）作斜率为74的直线

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）设双曲线的渐近线方程为y=kx，根据题意可得：k=±12，所以设双曲线方程为x2-4y2=m，再结合|PA|•|PB|=|PC|2可得4（xA+xB）+xAxB+32=0，进而联立直线与双曲线的方程即可解决问题，求出答案．（Ⅱ）设点M（x，y），则x2-4y2=4，设圆心为D（0，2），即可表达出|MD|并且求出范围，再利用圆的性质求出答案即可．

（Ⅰ）设双曲线的渐近线方程为y=kx，

因为渐近线与圆（x-5）²+y²=5相切，

所以

|5k|

k2+1=

5，即k=±

1

2，

所以双曲线的渐近线方程为y=±

1

2x．（2分）

设双曲线方程为x²-4y²=m，

将y=

7

4(x+4)代入双曲线方程，整理得3x²+56x+112+4m=0．（4分）

所以xA+xB=-

56

3，xAxB=

112+4m

3．（5分）

因为|PA|•|PB|=|PC|²，点P，A，B，C共线，且点P在线段AB上，

所以（x_P-x_A）（x_B-x_P）=（x_P-x_C）²，即（x_B+4）（-4-x_A）=16．

所以4（x_A+x_B）+x_Ax_B+32=0．（7分）

于是4•(-

56

3)+

112+4m

3+32=0，

解得m=4． （8分）

故双曲线方程是x²-4y²=4，即

x2

4-y2=1．（9分）

（Ⅱ）设点M（x，y），则x²-4y²=4，设圆x2+(y-2)2=

1

4的圆心为D，则点D（0，2）．

所以|MD|2=x2+(y-2)2=4y2+4+(y-2)2=5y2-4y+8=5(y-

2

5)2+

36

5≥

36

5．（11分）

所以|MD|≥

6

5

5，从而|MN|=|MD|-

1

2≥

12

5-5

10．

故|MN|的取值范围是[

12

5-5

10，+∞)．（13分）

点评：

本题考点： 圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．