已知函数f(x)=lnx−ax.

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  • 解题思路:(1)求出导函数f′(x),对a进行分类讨论,令导函数f′(x)>0,求解即可求得函数f(x)的单调递增区间;

    (2)对a进行分类讨论,利用导数分别求解函数的最值,再根据函数f(x)在[1,e]上的最小值为[3/2],列出方程,求解即可求得a的值;

    (3)利用参变量分离法,将不等式f(x)<x2转化为a>xlnx-x3在(1,+∞)上恒成立,进而利用导数求函数令g(x)=xlnx-x3的取值范围,即可求得实数a的取值范围.

    (1)∵函数f(x)=lnx−

    a

    x,

    ∴f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=

    1

    x+

    a

    x2=

    x+a

    x2,

    ①当a≥0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,

    ∴f(x)的单调增区间为(0,+∞);

    ②当a<0时,令f′(x)>0,解得x>-a,

    ∴f(x)的单调增区间为(-a,+∞).

    综合①②,当a≥0时,f(x)的单调增区间为(0,+∞),

    当a<0时,f(x)的单调增区间为(-a,+∞);

    (2)由(1)可知,f′(x)=

    x+a

    x2,

    ①若a≥-1,则x+a≥0,

    ∴f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,

    ∴f(x)在[1,e]上为增函数,

    ∴f(x)min=f(1)=−a=

    3

    2,

    ∵a≥-1,

    ∴a=−

    3

    2(舍去);

    ②若a≤-e,则x+a≤0,

    ∴f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,

    ∴f(x)在[1,e]上为减函数,

    ∴f(x)min=f(e)=1−

    a

    e=

    3

    2,

    ∵a≤-e,

    ∴a=−

    e

    2(舍去);

    ③若-e<a<-1,

    当1<x<-a时,f′(x)<0,

    ∴f(x)在(1,-a)上为减函数,

    当-a<x<e时,f′(x)>0,

    ∴f(x)在(-a,e)上为增函数,

    ∴f(x)min=f(−a)=ln(−a)+1=

    3

    2,

    ∴a=−

    e.

    综合①②③可得,实数a的值为a=−

    e;

    (3)∵f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,

    ∴lnx−

    a

    x<x2在(1,+∞)上恒成立,

    ∵x>0,

    ∴不等式两边同乘以x得xlnx-a<x3,即a>xlnx-x3在(1,+∞)上恒成立,

    令g(x)=xlnx-x3

    ∴h(x)=g′(x)=1+lnx-3x2

    ∴h′(x)=

    1

    x−6x=

    1−6x2

    x,

    ∵x>1,

    ∴h′(x)<0在(1,+∞)上恒成立,

    ∴h(x)在(1,+∞)上是减函数,

    ∴h(x)<h(1)=-2,即g′(x)<0,

    ∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数,

    ∴g(x)<g(1)=-1,

    ∴a≥-1.

    故实数a的取值范围为a≥-1.

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题;利用导数求闭区间上函数的最值.

    考点点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性,对于利用导数研究函数的单调性,注意导数的正负对应着函数的单调性.同时利用导数研究函数在闭区间上的最值,一般是求出导函数对应方程的根,然后求出跟对应的函数值,区间端点的函数值,然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值.对于函数的恒成立问题,一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解.属于中档题.