解题思路:(1)求出导函数f′(x),对a进行分类讨论,令导函数f′(x)>0,求解即可求得函数f(x)的单调递增区间;
(2)对a进行分类讨论,利用导数分别求解函数的最值,再根据函数f(x)在[1,e]上的最小值为[3/2],列出方程,求解即可求得a的值;
(3)利用参变量分离法,将不等式f(x)<x2转化为a>xlnx-x3在(1,+∞)上恒成立,进而利用导数求函数令g(x)=xlnx-x3的取值范围,即可求得实数a的取值范围.
(1)∵函数f(x)=lnx−
a
x,
∴f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=
1
x+
a
x2=
x+a
x2,
①当a≥0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
∴f(x)的单调增区间为(0,+∞);
②当a<0时,令f′(x)>0,解得x>-a,
∴f(x)的单调增区间为(-a,+∞).
综合①②,当a≥0时,f(x)的单调增区间为(0,+∞),
当a<0时,f(x)的单调增区间为(-a,+∞);
(2)由(1)可知,f′(x)=
x+a
x2,
①若a≥-1,则x+a≥0,
∴f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,
∴f(x)在[1,e]上为增函数,
∴f(x)min=f(1)=−a=
3
2,
∵a≥-1,
∴a=−
3
2(舍去);
②若a≤-e,则x+a≤0,
∴f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,
∴f(x)在[1,e]上为减函数,
∴f(x)min=f(e)=1−
a
e=
3
2,
∵a≤-e,
∴a=−
e
2(舍去);
③若-e<a<-1,
当1<x<-a时,f′(x)<0,
∴f(x)在(1,-a)上为减函数,
当-a<x<e时,f′(x)>0,
∴f(x)在(-a,e)上为增函数,
∴f(x)min=f(−a)=ln(−a)+1=
3
2,
∴a=−
e.
综合①②③可得,实数a的值为a=−
e;
(3)∵f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,
∴lnx−
a
x<x2在(1,+∞)上恒成立,
∵x>0,
∴不等式两边同乘以x得xlnx-a<x3,即a>xlnx-x3在(1,+∞)上恒成立,
令g(x)=xlnx-x3,
∴h(x)=g′(x)=1+lnx-3x2,
∴h′(x)=
1
x−6x=
1−6x2
x,
∵x>1,
∴h′(x)<0在(1,+∞)上恒成立,
∴h(x)在(1,+∞)上是减函数,
∴h(x)<h(1)=-2,即g′(x)<0,
∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数,
∴g(x)<g(1)=-1,
∴a≥-1.
故实数a的取值范围为a≥-1.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题;利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性,对于利用导数研究函数的单调性,注意导数的正负对应着函数的单调性.同时利用导数研究函数在闭区间上的最值,一般是求出导函数对应方程的根,然后求出跟对应的函数值,区间端点的函数值,然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值.对于函数的恒成立问题,一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解.属于中档题.