解题思路：先把已知条件化为（1+a）（1+b）（1+c）=2007=3×3×223的形式，再根据2007=3×3×223即可求出a、b、c的值，进而可求出答案．
由已知得：
a+b+c+ab+ac+bc+abc
=（a+ab）+（ac+abc）+（c+bc）+b
=a（1+b）+ac（1+b）+c（1+b）+（1+b）-1
=（1+b）（a+ac+c+1）-1
=（1+b）[（a+ac）+（c+1）]-1
=（1+b）[a（1+c）+（1+c）]-1
=（1+b）（a+1）（1+c）-1
=（1+a）（1+b）（1+c）-1=2006
所以（1+a）（1+b）（1+c）=2007=3×3×223
由于题目只是求体积abc的值，所以不必讨论a、b、c的大小顺序，可得：
1+a=3，
1+b=3，
1+c=223，
解得：a=2，b=2，c=222．
因此，体积=abc=2×2×222=888．
故答案为：888．
点评：
本题考点： 立体图形．
考点点评： 本题考查的是立体图形，能把原式化为（1+a）（1+b）（1+c）-1=2006的形式是解答此题的关键．