Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，AB=a

Answer 1

解题思路：（1）要证：平面AMN∥平面EFDB，证明MN∥平面EFDB．AM∥平面EFDB，即可；

（2）求异面直线BE与MN之间的距离，转化为两平行平面之间的距离．

（1）证明：∵MN∥EF，∴MN∥平面EFDB．

又AM∥DF，

∴AM∥平面EFDB．而MN∩AM=M，

∴平面AMN∥平面EFDB．

（2）∵BE⊂平面EFDB，MN⊂平面AMN，且平面AMN∥平面EFDB，

∴BE与MN之间的距离等于两平行平面之间的距离．

作出这两个平面与平面A₁ACC₁的交线AP、OQ，作OH⊥AP于H．

∵DB⊥平面A₁ACC₁，

∴DB⊥OH．而MN∥DB，∴OH⊥MN．

则OH⊥平面AMN．

∵A₁P=

2

4a，AP=

3

2

4a，

设∠A₁AP=θ，则cosθ=

a

3

2

4a=

2

2

3，

∴OH=AO•sinθ=

2

2a•

2

2

3a=

2

3a．

∴异面直线BE与MN的距离是

2

3a．

点评：

本题考点： 平面与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．

考点点评： 本题考查平面与平面平行，异面直线间的距离，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．