Question

设函数f(x)在[0,1]上具有三节连续导数且f(0)=1, f(1)=2, f'(1/2)=0.证明：（0,1）内至少

Answer 1

在1／2处泰勒展开：

f（1） ＝ f（1／2）＋f’（1／2）＊1／2＋f’’（1／2）／2＊（1／2）＾2 ＋f’’’（t）／6＊（1／2）＾3

＝ f（1／2） ＋ f’’（1／2）／8＋f’’’（t）／48,

其中 1／2＜t＜1

类似,有：

f（0）＝ f（1／2） ＋ f’’（1／2）／8－f’’’（s）／48,

其中 0＜s＜1／2

两式向减得：

2－1 ＝ （f’’’（s）＋f’’’（t））／48

f’’’（s）＋f’’’（t）＝ 48

所以 2max｛｜f’’’（s）｜,｜f’’’（t）｜｝＞＝

｜f’’’（s）｜＋｜f’’’（t）｜＞＝f’’’（s）＋f’’’（t）＝ 48

＝＝＞ max｛｜f’’’（s）｜,｜f’’’（t）｜｝＞＝ 24

所以结论成立.