解题思路:(1)利用导数判断函数的单调性即可;
(2)由题意得恒有ma-f(x)>a2成立,等价于ma-a2>f(x)max,利用导数求得函数的最大值,即可得出结论.
(Ⅰ)f′(x)=2ax+[1/x]=
2ax2+1
x(x>0),…(2分)
①当a≥0时,恒有f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上是增函数;…(4分)
②当a<0时,当0<x<
−
1
2a时,f′(x)>0,则f(x)在(0,
−
1
2a)上是增函数;
当x>
−
1
2a时,f′(x)<0,则f(x)在(
−
1
2a,+∞)上是减函数 …(6分)
综上,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上是增函数;当a<0时,f(x)在(0,
−
1
2a)上是增函数,f(x)在(
−
1
2a,+∞)上是减函数.…(7分)
(Ⅱ)由题意知对任意a∈(-4,-2)及x∈[1,3]时,
恒有ma-f(x)>a2成立,等价于ma-a2>f(x)max,
因为a∈(-4,-2),所以
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题主要考查利用导数判断函数的单调性及求函数的最值知识,考查恒成立问题的等价转化思想及分类讨论思想的运用能力,属难题.