(2014•潍坊模拟)已知函数f(x)=a(x2+1)+lnx.

1个回答

  • 解题思路:(1)利用导数判断函数的单调性即可;

    (2)由题意得恒有ma-f(x)>a2成立,等价于ma-a2>f(x)max,利用导数求得函数的最大值,即可得出结论.

    (Ⅰ)f′(x)=2ax+[1/x]=

    2ax2+1

    x(x>0),…(2分)

    ①当a≥0时,恒有f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上是增函数;…(4分)

    ②当a<0时,当0<x<

    1

    2a时,f′(x)>0,则f(x)在(0,

    1

    2a)上是增函数;

    当x>

    1

    2a时,f′(x)<0,则f(x)在(

    1

    2a,+∞)上是减函数 …(6分)

    综上,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上是增函数;当a<0时,f(x)在(0,

    1

    2a)上是增函数,f(x)在(

    1

    2a,+∞)上是减函数.…(7分)

    (Ⅱ)由题意知对任意a∈(-4,-2)及x∈[1,3]时,

    恒有ma-f(x)>a2成立,等价于ma-a2>f(x)max

    因为a∈(-4,-2),所以

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题主要考查利用导数判断函数的单调性及求函数的最值知识,考查恒成立问题的等价转化思想及分类讨论思想的运用能力,属难题.