Question

已知圆C：x2+y2-2x-4y-20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．

Answer 1

解题思路：（I）将圆的方程化为标准方程，可得圆C的圆心坐标和圆C的半径；

（Ⅱ）分离参数可得（2x+y-7）m+（x+y-4）=0，再建立方程组，可得结论；

（Ⅲ）直线l被圆C截得的弦最长时，圆心（1，2）在直线l上，圆C截得的弦为直径；当圆心C（1，2）与A（3，1）的连线与l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短，由此可得结论．

（I）圆C：x²+y²-2x-4y-20=0，可变为：（x-1）²+（y-2）²=5²，

由此可知圆C的圆心C坐标为（1，2），半径为5．

（Ⅱ）证明：由直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，可得（2x+y-7）m+（x+y-4）=0

对于任意实数m，要使上式成立，必须

2x+y−7＝0

x+y−4＝0.

解得：

x＝3

y＝1.…（6分）

所以直线l过定点A（3，1）．

（Ⅲ）直线l被圆C截得的弦最长时，圆心（1，2）在直线l上，圆C截得的弦为直径；当圆心C（1，2）与A（3，1）的连线与l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短

此时(−

1

2)×(−

2m+1

m+1)＝−1，∴m＝−

3

4

∵CA=

5，圆的半径为5，

∴直线l被圆C截得的弦最短弦长为2

25−5=4

5．

点评：

本题考点： 直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题考查圆的方程，考查直线恒过定点，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力．