(I)求导函数可得:f′(x)=lnx+2(x>0)
令f′(x)>0可得x>e -2;令f′(x)<0可得0<x<e -2,
∴函数在(0,e -2)上单调减,在(e -2,+∞)上单调增
∴x=e -2时,函数f(x)取到最小值,最小值为-e -2;
(II)设F(x)=ax 2+f′(x)=ax 2+lnx+2,则F′(x)=2ax+
1
x =
2a x 2 +1
x (x>0)
当a≥0时,∵x>0,∴F′(x)>0恒成立,∴函数F(x)单调增区间为(0,+∞);
当a<0时,∵x>0,令F′(x)>0,可得 0<x<
-
1
2a ;令F′(x)>0,可得 x>
-
1
2a
∴函数F(x)单调增区间为 (0,
-
1
2a ) ,单调减区间为 (
-
1
2a ,+∞) ;
(III)证明:y=f′(x)的定义域为(0,+∞)
∵f″(x)=
1
x >0,∴y=f′(x)在(0,+∞)上为增函数
∴0<f′(x 2)<k<f′(x 1)
∴ 0<
1
x 2 <k<
1
x 1
∴ x 1 <
1
k < x 2 .