Question

（2012•蕲春县模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是直径，AD是高交⊙O于F，连接BE、CF，下列结论正确的

Answer 1

解题思路：由△ABC是⊙O的内接三角形，AE是直径，AD是高，易证得△ABE∽△ADC，△ABD∽△CFD，然后由相似三角形的性质，证得①②③正确，又由勾股定理，即可证得④正确．

∵AE是直径，

∴∠ABE=90°，

∵AD是高，

∴∠ADC=90°，

∵∠E=∠ACB，

∴△ABE∽△ADC，

∴∠BAE=∠CAF，AB：AD=AE：AC，

∴

BE=

CF，AB•AC=AD•AE；

∴BE=CF，

故①②正确；

∵∠ABC=∠AFC，∠BAF=∠BCF，

∴△ABD∽△CFD，

∴AD：CD=BD：DF，

∴AD•DF=BD•CD；

故③正确；

∵在Rt△ABD中，AD²+BD²=AB²，

在Rt△CDF中，FD²+CD²=CF²，

在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，

∵BE=CF，

∴AD²+BD²+FD²+CD²=AE²．

故④正确．

故选D．

点评：

本题考点： 圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．