Question

（2013•北京）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，A

Answer 1

解题思路：（I）利用AA₁C₁C是正方形，可得AA₁⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；

（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；

（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC₁B₁中作DE⊥BC于E，可得D

(t，

3

4

(4−t)，t)

，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．

（I）证明：∵AA₁C₁C是正方形，∴AA₁⊥AC．

又∵平面ABC⊥平面AA₁C₁C，平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC，

∴AA₁⊥平面ABC．

（II）由AC=4，BC=5，AB=3．

∴AC²+AB²=BC²，∴AB⊥AC．

建立如图所示的空间直角坐标系，则A₁（0，0，4），B（0，3，0），B₁（0，3，4），C₁（4，0，4），

∴

/BC1＝(4，−3，4)，

BA1＝(0，−3，4)，

BB1＝(0，0，4)．

设平面A₁BC₁的法向量为

n1＝(x1，y1，z1)，平面B₁BC₁的法向量为

n2]=（x₂，y₂，z₂）．

则

点评：

本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．

考点点评： 本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．