具体解答如下：
A、错.
函数的导数仍然是函数,这是“导函数”,是导数的整体意思.
函数在某点的导数是指导函数在该点的值,而是一个具体的数.
这个值就是函数在该处的切线的斜率.
所以,在某个具体的点的导数就不是函数了.
B、勉强对.
函数在某点的导数是一个具体的值,而这个值也可能一个普通的数值.
如果该处的切线垂直于x轴,那么该处的导数就是无穷大.
C、错得离谱!
在某点的导数,是由导函数在该点取值,根本不存在增量的问题.
虽然证明的过程借助于割线的斜率,但是经过取极限之后,已经是点的概念了.
D、错得荒唐!
如C所说,虽然在取极限时,是借助于割线的斜率,确实是平均概念,是空间
的平均变化率.但是经过取极限的无穷过程,已经不再是平均概念了,如同
物理学中从平均速度过渡到了瞬时速度的概念了,对应的是一个点,而非两个
点,所以D错得荒唐!
如果你的老师,说答案C或D,说明他还没有进入角色,还停留在微积分的门外,
对微积分“微”、“积”二字还初等数学的层次上,无法理解极限的过程,也就
是无法从average(平均)过渡到instantaneous(瞬时)的概念.无法从初等数学由两
点确定直线的斜率,过渡到高等数学中由曲线上一点确定切线斜率的方法上.
他/她越是坚持,就越该回家卖红薯了.