解题思路：由条件可得 1=（a+b+c）2，化简可得ab+bc+ac=-1．求得ab=c2-c-1，又a+b=1-c，可得a和b是关于x的方程 x2+（c-1）x+（c2-c-1）=0的两根．由△≥0，解得-1≤c≤[5/3]．abc=c3-c2-c．利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求函数的最值．
由a+b+c=1，a2+b2+c2=3 可得
1=（a+b+c）2=a2+b2+c2 +2ab+2bc+2ac=3+（2ab+2bc+2ac ），故有 ab+bc+ac=-1．
∴-1=ab+c（a+b）=ab+c（1-c），∴ab=c2-c-1．
又a+b=1-c，∴由韦达定理可知，a和b是关于x的方程 x2+（c-1）x+（c2-c-1）=0的两根．
∴△=（c-1）2-4（c2-c-1）≥0，整理可得3c2-2c-5≤0，解得-1≤c≤[5/3]．
再由ab=c2-c-1，可得abc=c3-c2-c．
构造函数f（x）=x3-x2-x，-1≤x≤[5/3]，
求导可得 f'（x）=3x2-2x-1=（x-1）（3x+1），令f′（x）=0，可得x=-[1/3]，或 x=1．
在[-1，-[1/3]）、[1，[5/3]）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
在（-[1/3]，1）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数．
∴f（x）max=max{f（-[1/3]），f（[5/3]）}=[5/27]，
∴（abc）max=[5/27]，
故答案为 [5/27]．
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用
考点点评： 本题主要考查二次函数的性质、韦达定理，利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求函数的最值，属于中档题．