Question

在等比数列{a n }中，已知a 1 ＞1，公比q＞0．设b n =log 2 a n ，且b 1 +b 3 +b 5

Answer 1

（Ⅰ）依题意， a n = a 1 q n-1 ，

∵a ₁＞1，q＞0，∴数列{a _n}是单调数列，

∵b ₁+b ₃+b ₅=log ₂a ₃ ³=6，

∴a ₃ ³=2 ⁶，得a ₃=4

又∵b _n=log ₂a _n，b ₁•b ₃•b ₅=0及a ₁＞1

∴b ₅=0，可得a ₅=1．

因此 a 3 q 2 =1，即q ²=

1

4 ，解之得 q=

1

2 （舍负）．

∴ a n = a 5 q n-5 =(

1

2 ) n-5 = 2 5-n ，b _n=log ₂a _n=5-n．…6′

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b _n=5-n， S n =

n( b 1 + b n )

2 =

n(9-n)

2 ．

①当n≥9时，S _n≤0，a _n＞0，此时S _n＜a _n；

②当n=1时，S _n=4且a _n=16；当n=2时，S _n=7且a _n=8．此时S _n＜a _n；

③当n=3、4、5、6、7、8时，a _n=4、2、1、

1

2 、

1

4 、

1

8 ．此时S _n＞a _n

综上所述，当n=1或n=2或n≥9时，S _n＜a _n；当n=3、4、5、6、7、8时，S _n＞a _n．…13′