Question

已知数列{an}满足递推关系式an=2an-1+1，（n≥2）其中a4=15

Answer 1

解题思路：（1）利用数列的递推关系式，通过n=4，求出a₃，类似求出a₁，a₂，

（2）通过递推关系式，推出数列{a_n+1}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，然后求数列{a_n}的通项公式．

（3）写出数列{a_n}的前n项和的表达式．利用拆项法，通过等比数列求和求解即可．

（1）由a_n=2a_n-1+1，（n≥2）其中a₄=15

，可知a₄=2a₃+1，解得a₃=7，

同理可得，a₂=3，a₁=1．

（2）由a_n=2a_n-1+1，（n≥2）可知a_n+1=2a_n-1+2，（n≥2），

∴数列{a_n+1}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，

∴a_n+1=（a₁+1）•2^n-1=2ⁿ，

所以a_n=2ⁿ-1．

（3）∵a_n=2ⁿ-1．

∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）

=（2¹+2²+…+2ⁿ）-n

=

2(1−2n)

1−2−n

=2ⁿ⁺¹-n-2．

点评：

本题考点： 数列递推式；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的递推关系式与数列通项公式，前n项和的应用，考查计算能力．