Question

过点Q（4，1）作抛物线y2=8x的弦AB，恰被Q平分．

Answer 1

解题思路：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由已知条件利用点差法能求出AB所在的直线方程．（2）联立y2＝8x4x−y−15＝0，得16x2-128x+225=0，利用椭圆弦长公式能求出弦AB的长．

（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

∵Q（4，1）是AB中点，

∴

x1+x2

2＝4，

y1+y2

2＝1，

∴x₁+x₂=8，y₁+y₂=2，

又∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在y²=8x上，

∴y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，

两式相减，得：y₂²-y₁²=2（y₂-y₁）=8（x₂-x₁）

得到

y2−y1

x2−x1=4，

∴直线AB的斜率k=4，

∵直线经过Q（4，1），

∴直线AB的方程为y-1=4（x-4），

整理，得AB所在的直线方程：4x-y-15=0．

（2）联立

y2＝8x

4x−y−15＝0，

消去y，并整理得16x²-128x+225=0，

x₁+x₂=[128/16]=8，x1 •x₂=[225/16]，

∴|AB|=

(1+16)(64−4×

225

16)=

527

2．

∴弦AB的长为

527

2．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查直线方程的求法，考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点关差法的合理运用．