Question

如图1，正方形ABCD和过其对角线交点O的正方形OEFG的边长相等，OE交AB于M，OG交BC于N．

Answer 1

（1）证明：∵∠AOM+∠BOM=90°，∠BON+∠BOM=90°，

∴∠AOM=∠BON，

∵四边形ABCD和四边形OEFG都是正方形，

∴AO=BO，∠OAM=∠OBN=45°，

在△AOM和△BON中，

∠AOM=∠BON

AO=BO

∠OAM=∠OBN ，

∴△AOM≌△BON（ASA）；

（2）∵△AOM≌△BON，

∴△AOM的面积=△BON的面积，

∴四边形MONB的面积=

1

4 正方形ABCD的面积，

∵四边形MONB的面积为1，

∴正方形ABCD的面积=4，

∴正方形ABCD的边长为2；

（3）∵OH⊥BC，

∴OH=

1

2 ×2=1，

又∵OE=2，

∴∠OEH=30°，

∴BH=OH=1，EH=

2 2 -1 2 =

3 ，

∴EB=EH-BH=

3 -1，

在Rt△EBM中，MB=EB•tan30°=（

3 -1）×

3

3 =1-

3

3 ．