Question

已知F1、F2分别是双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF2=90

Answer 1

解题思路：本题考查的是双曲线的简单性质，要求出双曲线的离心率，关键是要根据已知构造一个关于离心率e，或是关于实半轴长2a与焦距2C的方程，解方程即可求出离心率，注意到已知条件中，∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三边长成等差数列，结合双曲线的定义，我们不难得到想要的方程，进而求出离心率．

设|PF₁|=m，|PF₂|=n，

不妨设P在第一象限，

则由已知得

m−n＝2a

m2+n2＝(2c)2

n+2c＝2m

∴5a²-6ac+c²=0，

方程两边同除a²得：

即e²-6e+5=0，

解得e=5或e=1（舍去），

故答案为5．

点评：

本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 解题过程中，为了解答过程的简便，我们把未知|PF1|设为m，|PF2|设为n，这时要求离心率e，我们要找出a，c之间的关系，则至少需要三个方程，由已知中，若∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三边长成等差数列，我们不难得到两个方程，此时一定要注意双曲线的定义，即P点到两个焦点的距离之差为定值．