解题思路：将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设x1是方程①和方程②的一个相同的实根，x2是方程③和方程④的一个相同的实根，得到关于x1与x2的解析式，进而求出a的值，再求出b、c的值即可解答．
依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．
设x1是方程①和方程②的一个相同的实根，则
x21+ax1+1＝0
x21+bx1+c＝0
两式相减，可解得x1＝
c−1
a−b．（5分）
设x2是方程③和方程④的一个相同的实根，则
x22+x2+a＝0
x22+cx2+b＝0
两式相减，可解得x 2＝
a−b
c−1．
所以x1x2=1．（10分）
又∵方程①的两根之积等于1，于是x2也是方程①的根，
则x22+ax2+1=0．
又∵x22+x2+a=0，两式相减，得（a-1）x2=a-1．（15分）
若a=1，则方程①无实根，
所以a≠1，故x2=1．
于是a=-2，b+c=-1．又a-b+c=3，
解得b=-3，c=2．（20分）
点评：
本题考点： 一元二次方程的解．
考点点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的解．同时考查了从结论的反面思考问题的方法和代数式的变形能力．