Question

已知定义在R上的任意函数f（x）=lg（10x+1），x∈R，可以表示成一个奇函数g（x）与偶函数h（x）的和，求g（x

Answer 1

解题思路：根据题意：f（x）=g（x）+h（x）=lg（10^x+1），而g（x）是奇函数，h（x）是偶函数，因为f（x）=lg（10^x+1），所以f（-x）=-g（x）+h（x）=lg（10^-x+1）=lg（10^x+1）-x，由此能求出g（x）与h（x）解析式．

根据题意：f（x）=g（x）+h（x）=lg（10^x+1），①

而g（x）是奇函数，h（x）是偶函数，

因为f（x）=lg（10^x+1），

所以f（-x）=-g（x）+h（x）

=lg（10^-x+1）=lg（

10x+1

10x）=lg（10^x+1）-x，②

①-②得：2g（x）=x，即：g（x）=[x/2]，

①+②得：2h（x）=2lg（10^x+1）-x，

即：h（x）=lg（10^x+1）-[x/2]．

点评：

本题考点： 对数的运算性质；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题考查函数的解析式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的奇偶性和对数的性质及运算法则的合理运用．