已知定义在R上的任意函数f(x)=lg(10x+1),x∈R,可以表示成一个奇函数g(x)与偶函数h(x)的和,求g(x

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  • 解题思路:根据题意:f(x)=g(x)+h(x)=lg(10x+1),而g(x)是奇函数,h(x)是偶函数,因为f(x)=lg(10x+1),所以f(-x)=-g(x)+h(x)=lg(10-x+1)=lg(10x+1)-x,由此能求出g(x)与h(x)解析式.

    根据题意:f(x)=g(x)+h(x)=lg(10x+1),①

    而g(x)是奇函数,h(x)是偶函数,

    因为f(x)=lg(10x+1),

    所以f(-x)=-g(x)+h(x)

    =lg(10-x+1)=lg(

    10x+1

    10x)=lg(10x+1)-x,②

    ①-②得:2g(x)=x,即:g(x)=[x/2],

    ①+②得:2h(x)=2lg(10x+1)-x,

    即:h(x)=lg(10x+1)-[x/2].

    点评:

    本题考点: 对数的运算性质;函数奇偶性的性质.

    考点点评: 本题考查函数的解析式的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数的奇偶性和对数的性质及运算法则的合理运用.