求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.

2个回答

  • 解题思路:首先充分性,分别讨论a=1,a=0,与a<0三种情形;其次怎么必要性,分别讨论a=0,与a≠0两种情形;

    充分性:当a=0时,方程变为2x+1=0,其根为x=−

    1

    2,方程只有一个负根;

    当a=1时,方程为x2+2x+1=0.其根为x=-1,

    方程只有一个负根.

    当a<0时,△=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,且[1/a]<0,方程有一正一负根.

    必要性:若方程ax2+2x+1=0有且仅有一个负根.

    当a=0时,适合条件.

    当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有实根,

    则△=4(1-a)≥0,∴a≤1,

    当a=1时,方程有一个负根x=-1.

    若方程有且仅有一负根,则

    a<1

    1

    a<0∴a<0

    综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为a≤0或a=1

    点评:

    本题考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.

    考点点评: 本题借助充分与必要条件考查了一元二次方程根的存在问题,属于中档题.