Question

正数m,n满足m+n=3,且S=根号下m2+4+根号下n2+4,求S的最小值

Answer 1

m+n=3…………………………………(1)

S=√(m^2+4)+√(n^2+4)………………(2)

由(1)得：m=3-n

代入(2),有：

S=√[(3-n)^2+4]+√(n^2+4)

S=√(n^2-6n+13)+√(n^2+4)…………(3)

S'=(n-3)/√(n^2-6n+13)+n/√(n^2+4)

S'=[(n-3)√(n^2+4)+n√(n^2-6n+13)]/[√(n^2+4)][√(n^2-6n+13)]

令：S'=0,即：

(n-3)√(n^2+4)+n√(n^2-6n+13)=0

(3-n)√(n^2+4)=n√(n^2-6n+13)

[(3-n)^2](n^2+4)=(n^2)(n^2-6n+13)

(n^2-6n+9)(n^2+4)=(n^2)(n^2-6n+13)

n^4+13n^2-6n^3-24n+36=n^4-6n^3+13n^2

24n=36

n=3/2

代入(3),有：

S最小=√[(3/2)^2-6(3/2)+13]+√[(3/2)^2+4]

S最小=√(9/4-9+13)+√(9/4+4)

S最小=2√(9/4+4)

S最小=2√(25/4)

S最小=5

即：所求S的最小值是5.