Question

在△ABC中AB=AC,P是BC上任意一点.如图一,若p是BC边上任意一点,PF⊥AB于点F.PE⊥AC于点E,BD为△

Answer 1

1、PE+PF=BD

做BG⊥EP,交EP延长线于G,

∵BD⊥AC,PE⊥AC,

∴∠G=∠BDE=∠DEG=90°

∴BDEG是矩形

∴BD=EG=PE+PG

BG∥AC(DE)

∴∠GBP=∠C

∵AB=AC,那么∠C=∠ABC=∠FBP

∴∠FBP=∠GBP

∵BP=BP,∠PFB=∠PGB=90°(PF⊥AB)

∴△BPF≌△BPG(AAS)

∴PF=PG

∴BD=BE+PG=PE+PF

2、做PH⊥CD,交DC延长线于H

∵PF⊥AB,CD⊥AB

∴∠PFD=∠FDH=∠PHD=90°

∴DFPH是矩形

那么PF=DH=CD+CH,PH∥DF(AB)

∴∠B=∠HPC

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB=∠ECP=∠HPC(有对顶角相等）

即∠ECP=∠HPC

∵PE⊥AC,即∠PEC=∠PHC=90°

PC=PC

∴△PCE≌△CPH(AAS)

∴PE=CH

∴PF=CD+PE