Question

如图,在△ABC中,AD为∠BAC的角平分线,∠ABC=90°,BE⊥AC,DF⊥AC垂足分别为E、F,求证：DF=BH

Answer 1

连接HF

因为AD是∠BAC的角平分线

所以∠BAD=∠DAC

又因为DF⊥AC

所以∠DFA=90°

所以∠DFA=∠ABD=90°

从而∠BDA=180°-90°-∠BAD,∠FDA=180°-90°-∠DAC

所以∠BDA=∠FDA

所以△ABD相似于△AFD

又因为AD=AD

所以△ABD全等于△AFD

所以BD=DF

又因为BE⊥AC,DF⊥AC

所以∠BEF=∠DFC=90°

所以BE//DF

所以∠BHD=∠FDA

又因为∠BDA=∠FDA

所以∠BHD=∠BDA

所以△BHD为等腰三角形

所以BH=BD

又因为BD=DF

所以BH=DF,证毕