解题思路：先根据关于x的一元二次方程x2-2x+a=0一定有实根则△＞0可求出a的取值范围，根据a是非负整数可得到a的值，再把a的值代入原方程即可求出方程的根，再根据方程只有正整数根舍去不合题意的根即可．
依题意知：关于x的一元二次方程x2-2x+a=0一定有实根，
∴△≥0．
即4-4a≥0．解得a≤1．
∵a是非负整数，
∴a=1或a=0．（2分）
当a=1时，关于x的一元二次方程为x2-2x+1=0，解这个方程得x1=x2=1．
∵1是正整数，
∴a=1符合题意；（3分）
当a=0时，关于x的一元二次方程为x2-2x=0，
解这个方程得x2=2，x1=0，
∵0不是正整数，
∴a=0不符合题意，故舍去．（4分）
即所求的非负整数a=1．（5分）
故答案为：1．
点评：
本题考点： 根的判别式．
考点点评： 本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意求出符合条件的a的值是解答此题的关键．