Question

用数学归纳法证明：12-22+32-42+…+（-1）n-1n2=（-1）n-1n(n+1)2．

Answer 1

解题思路：用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步，验证当n=n₀时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．关键是第二步中要充分用上归纳假设的结论．

证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=（-1）⁰

1(1+1)

2=1，

故：左边=右边，

∴当n=1时，等式成立；（3分）

（2）假设n=k时，等式成立，即 1²-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1•k²=（-1）^k-1•

k(k+1)

2．（6分）

那么1²-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1•k²+（-1）^k•（k+1）²

=（-1）^k-1•

k(k+1)

2+（-1）^k•（k+1）²

=（-1）^k[k+1/2]（-k+2k+2）

=（-1）^（k+1）-1

(k+1)[(k+1)+1]

2

即当n=k+1时，等式也成立． （10分）

根据（1）和（2）可知等式对任何n∈N₊都成立． （12分）

点评：

本题考点： 数学归纳法．

考点点评： 本题考查数学归纳法的思想，应用中要注意的是用上归纳假设的结论，否则会导致错误．属于中档题．