如图,已知四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=∠ABC数学

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  • (Ⅰ)证明:∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,

    ∴PA⊥BD

    ∵PC⊥平面BDE,BD⊂平面BDE

    ∴PC⊥BD,又PA∩PC=P

    ∴BD⊥平面PAB;

    (Ⅱ)建立如图所示的坐标系,

    则AD=4,A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,4,0),P(0,0,4)

    ∴AC=(2,1,0),PC=(2,1,-4),PD=(0,4,-4)

    令平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则

    由n•PC=0n•PD=0,可得2x+y-4z=04y-4z=0

    令z=1,可得n=(32,1,1),

    ∴直线AC与平面PCD所成角的正弦值为|cos<AC,n>|=AC•n|AC||n|=88585.