Question

已知圆C：x2+y2+Dx-6y+1=0上有两点P、Q关于直线x-y+4=0对称．直线l：（2m-1）x-（m-1）y+

Answer 1

解题思路：圆C：x²+y²+Dx-6y+1=0上有两点P、Q关于直线x-y+4=0对称，说明直线过圆心，易求D的值，然后求出圆的半径，可得圆的方程，当圆心C（-1，3）与A（3，1）的连线与l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短，由此可得结论．

（1）圆C：x²+y²+Dx-6y+1=0，圆心为（-[D/2]，3）．

∵点P、Q在圆上且关于直线x-y+4=0对称，

∴圆心（-[D/2]，3）在直线上．代入得D=2．

圆C：x²+y²+2x-6y+1=0，即圆C：（x+1）²+（y-3）²=9，

直线l：（2m-1）x-（m-1）y+8m-6=0，即：m（2x-y+8）+（-x+y-6）=0，恒过（-2，4）点，

当圆心C（-1，3）与A（-2，4）的连线与所求截距所在直线垂直时，直线l被圆C截得的弦最短

∵CA=

(−1+2)2+(3−4)2=

2，圆的半径为3，

∴直线l被圆C截得的弦最短的弦长为2

32−(

2)2=2

7．

∴k_AC=[4−3/−2+1]=-1，

∴

2m−1

m−1＝1，

∴m=0．

点评：

本题考点： 直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题考查直线与圆的方程的应用，直线的一般式方程，考查直线恒过定点，考查直线与圆的位置关系，函数与方程的思想，是中档题．