问个线性代数题设A是m×n矩阵,R（A）＝r,证明 - 知识问答

问个线性代数题设A是m×n矩阵,R（A）＝r,证明存在秩为r的m×r矩阵B与秩为r的r×n矩阵C使A＝BC

1个回答

这个叫做矩阵的满秩分解,《矩阵论》上的定理.
证明：
A是m×n矩阵,R（A）＝r,则A一定能通过初等行列变换变成如下矩阵
1 0 0 ...0 0
0 1 0 ...0 0
0 0 1 ...0 0
...
0 0 0 ...0 0
就是左上角是一个r阶单位阵,其余部分都是0的m*n矩阵,记这个矩阵为T.
则A＝PTQ,其中P是m*m的可逆阵,Q是n*n的可你阵.
现在将T分解,B=U*V=
1 0 0 *
0 1 0
0 0 1
...
0 0 0
1 0 0 ...0 0
0 1 0 ...0 0
0 0 1 ...0 0
U是m*r阶矩阵,其中上面是一个r阶单位阵
V是r*n阶矩阵,其中左边是一个r阶单位阵
这样正好T＝U*V
所以A=PUVQ＝（PU）*（VQ）=B*C

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