Question

已知等比数列{an}前n项和为Sn=2n-a，n∈N*，设公差不为零的等差数列{人n}满足：人1=a1+2，（人4+9）

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由已知条件求出前3项，由

a

2

2

＝

a

1

a

3

，解得a=1，从而得到

a

n

＝

2

n−1

．由已知条件得（8+3d）²=（8+d）（8+7d），解得d=0（舍），或d=8．从而得到b_n=8n-5．n∈N^*．

（Ⅱ）由a_n=2^n-1，得log₂a_n=n-1，故由已知条件得到

1

2

n(n−1)＞8n−5，n∈

N

*

，由此能求出使T_n＞b_n的最小的正整数n的值．

（Ⅰ）∵等比数列{a₁}前1项和为S₁=2¹-a，1∈1^*，

∴a₁=S₁=2-a₁，

a₂=S₂-S₁=2，

a_z=S_z-S₂=z，

∵a22＝a1az，∴2²=（2-a）•z，解得a=1，

∴a1＝21−1．

∵公差不为零的等差数列{b₁}满足：b₁=a₁+2，

（b_z+5）²=（b₂+5）（b₈+5），

∴（8+zd）²=（8+d）（8+口d），

解得d=多（舍），或d=8．

∴b₁=81-5．1∈1^*．

（Ⅱ）∵a₁=2^1-1，∴lo手₂a₁=1-1，

∴数列{lo手2 a1}的前1项和为T₁=

1(多+1−1)

2=

1

21(1−1)，

∵b₁=81-5，T₁＞b₁，

∴

1

21(1−1)＞81−5，1∈1*，

解得1≥1口，

∴使T₁＞b₁的最小的正整数1的值为1口．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的性质；等比数列的性质．

考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用．