在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),点B(0,3).点P从点A出发,以每秒1个单位的速度向右平移,点Q从点B出发,以

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  • 解题思路:(1)由于∠ABQ<90°,若△ABQ是直角三角形,需要考虑两种情况:

    ①∠BAQ=90°,此时△BAQ∽△ABO,根据相似三角形所得比例线段,可求出BQ的长,即可得到Q点坐标;

    ②∠BQA=90°,此时四边形BOAQ是矩形,BQ=OA,由此可求出Q点坐标.

    (2)假设P点翻折到AB上时,落点为E,那么∠QAP=∠QAE,QE=QP;由于BQ∥OP,那么∠QAP=∠BQA=∠BAQ,即BQ=BA=5,此时P、Q运动了2.5s,所以AP=AE=[5/2],即E是AB的中点;分别过E、Q作BQ、OP的垂线,设垂足为F、H,易求EF=PH=[3/2],即可证得△QPH≌△QEF,得∠EQF=∠PQH,由此发现∠EQP=90°,而∠PQA=∠EQA,由此可求得∠AQP的度数.

    (3)假设存在这样的平行四边形,可分作两种情况考虑:

    ①点C在线段PQ上,可延长AC、BQ交于点F,由于DQ∥AC,因此DQ是△BCF的中位线,则FC=2DQ=2AC,过F作FH⊥x轴于H,由于∠BAC=90°,可证得△AOB∽△FHA,通过得到的比例线段,即可求出AF的长,进而可得到AC的长;在Rt△BAC中,已知了AC、BA的长,即可求出∠ABC的正切值;

    ②点C在PQ的延长线上,设AD、AC与BQ的交点分别为G、F,按照①的思路可证得AD=CQ=2AG,那么在相似三角形△CFQ和△AFG中,FC=2AF,即AC=3AF,AF的长在①中已求得,由此可得到AC的长,进而可求出∠ABC的正切值.

    (1)根据题意,可得:A(4,0)、B(0,3),AB=5.

    ⅰ)当∠BAQ=90°时,△AOB∽△BAQ,

    ∴[BQ/AB=

    AB

    AO].解得BQ=

    25

    4;

    ⅱ)当∠BQA=90°时,BQ=OA=4,

    ∴Q(

    25

    4,3)或Q(4,3).(4分)

    (2)令点P翻折后落在线段AB上的点E处,

    则∠EAQ=∠PAQ,∠EQA=∠PQA,AE=AP,QE=QP;

    又BQ∥OP,

    ∴∠PAQ=∠BQA,∴∠EAQ=∠BQA,

    即AB=QB=5.

    ∴AP=

    1

    2BQ=

    5

    2,

    ∴AE=AP=

    5

    2=

    1

    2AB,即点E是AB的中点.

    过点E作EF⊥BQ,垂足为点F,过点Q作QH⊥OP,垂足为点H,

    则EF=

    3

    2,PH=

    3

    2,∴EF=PH.

    又EQ=PQ,∠EFQ=∠PHQ=90°,

    ∴△EQF≌△PQH

    ∴∠EQF=∠PQH,从而∠PQE=90°.

    ∴∠AQP=∠AQE=45°.(8分)

    (3)当点C在线段PQ上时,延长BQ与AC的延长线交于点F,

    ∵AC⊥AB,

    ∴△AOB∽△FHA.

    ∴[AB/FA=

    AO

    FH]即[5/FA=

    4

    3],

    ∴FA=

    15

    4.

    ∵DQ∥AC,DQ=AC,且D为BC中点,

    ∴FC=2DQ=2AC.

    ∴AC=

    5

    4.

    在Rt△BAC中,tan∠ABC=[1/4];

    当点C在PQ的延长线上时,记BQ与AC的交点为F,记AD与BQ的交点为G,

    ∵CQ∥AD,CQ=AD且D为BC中点,

    ∴AD=CQ=2DG.

    ∴CQ=2AG=2PQ.

    即:CQ:QP=2:1

    又∵BQ∥OP

    ∴CF:AF=CQ:QP=2:1

    ∴FC=2AF,

    又∵FA=[15/4],

    ∴FC=[15/2],

    ∴AC=

    45

    4.

    在Rt△BAC中,tan∠ABC=[9/4].(12分)

    点评:

    本题考点: 相似三角形的判定与性质;翻折变换(折叠问题).

    考点点评: 此题考查的知识点较多,涉及到图形的翻折变换、相似三角形及全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理以及锐角三角函数的定义等知识,同时还考查了分类讨论的数学思想,难度较大.