解题思路：（1）利用导数求函数的极值．
（2）利用导数研究函数的单调性，利用单调性和最值确定函数的值域．
（3）利用导数求函数的最值范围，利用g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围．
（1）f′(x)＝−x2−
2
3x+
5
3]，令f'（x）=0，解得：x=-[5/3]（舍）或x=1
当0≤x≤1时，f'（x）≥0；当x＞1时，f'（x）＜0，
所以f（x）极大值=f（1）=3，无极小值．
（2）由 （1）知f（x）在区间[0，1]单调递增，所以f（x）在区间[0，1]的值域为[f（0），f（1）]，即[-4，-3]．
（3）因为g'（x）=3x2-3ax且a≥1，所以当x∈[0，1]时g'（x）≤0，所以g（x）在区间[0，1]单调递减，
所以g（x）在区间[0，1]的值域为[g（1），g（0）]，即[1-3a2-2a，-2a]．
又对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立等价为f（x）在区间[0，1]的值域⊆g（x）在区间[0，1]的值域，
即[-4，-3]⊆[1-3a2-2a，-2a]，
即
1−3a2−2a≤−4
−2a≥−3，解得：1≤a≤
3
2．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及求函数的最值问题，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．