解题思路：（1）先由负数没有对数得到f（x）的定义域，求出f（x）的导函数，根据b大于 2得到导函数大于0，所以函数在定义域内单调递增；
（2）令f（x）的导函数等于0，求出此时方程的解即可得到x的值，根据d小于等于0舍去不在定义域范围中的解，得到符合定义域的解，然后利用这个解把（0，+∞）分成两段，讨论导函数的正负得到函数f（x）的增减性，根据f（x）的增减性即可得到函数的唯一极小值为这个解；
（3）由b=-6，代入f（x）的解析式中确定出f（x），并根据（2）把b的值代入求出的唯一极小值中求出值为 3，得到函数的递减区间为（0，3），根据当n＞1时，
2＜2+
1
n
＜3
，利用函数为减函数恒有
f(2)＜f(2+
1
n
)＜f(3)
，化简得证．
（1）由题意知，f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝2x−4+
b
x＝
2x2−4x+b
x＝
2(x−1)2+b−2
x(x＞0)．
∴当 b＞2时，f′（x）＞0，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；
（2）令 f′(x)＝2x−4+
b
x＝
2x2−4x+b
x＝0，
得 x1＝1−
4−2b
2]，x2＝1+
4−2b
2．
当b≤0时，x1＝1−
4−2b
2≤0∉（0，+∞）（舍去），
而 x2＝1+
4−2b
2≥ 1∈（0，+∞），
此时：f′（x），f（x）随x在定义域上的变化情况如下表：
由此表可知：∵b≤0时，f（x）有惟一极小值点 x2＝1+
4−2b
2；
（3）由（2）可知当b=-6时，函数f（x）=（x-2）2-6lnx，此时f（x）有惟一极小值点
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 此题考查学生会利用导函数的正负判断函数的单调性，并根据函数的单调性得到函数的极值，掌握导数在最值问题中的应用，是一道综合题．学生做题时应注意找出函数的定义域．第三问的突破点是令b=-6，然后利用增减性进行证明．