解题思路：（1）连接OB，证明△MOB≌△NOC就可以得出BM=CN；
（2）根据条件要求当点D在线段BC上时和点D在BC的延长线上时分别作出图形，如图2，如图3，证明△POB≌△DEP就可以得出结论．
（1）证明：连结OB．
∵AB=BC，O为AC中点，
∴∠ABO=∠CBO，BO⊥AC．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO=∠CBO=45°，∠A=∠C=45°，
∴∠ABO=∠C=∠CBO，
∴0B=OC．
∵∠MON=90°，
∴∠MOB+∠BON=∠CON+∠BON=90°，
∴∠MOB=∠CON．
在△BOM和Rt△CON中
∠ABO＝∠C
0B＝OC
∠MOB＝∠CON，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴BM=CN；
（2）OP=DE，OP⊥DE．理由如下：
①如图2，若点P在线段AO上．
∵BO⊥AC，
∴∠BOC=90°．
∵OB∥DE，
∴∠POB=∠PED=90°，
∴OP⊥DE，
∵PB=PD，
∴∠PDB=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠OBC=45°，
∴∠OBC=∠C=45°，
∵∠PBO=∠PBC-∠OBC，∠DPC=∠PDB-∠C，
∴∠PBO=∠DPC，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中
∠POB＝∠PED
∠PBO＝∠DPC
PB＝PD，
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
∴OP=DE；
②若点P在线段CO上．
同理可证OP⊥DE，OP=DE
，
∵OB∥DE，
∴∠OBC=∠BDE=45°．
∵PB=PD，
∴∠PDB=∠PBD，
∵∠APB=∠PBD+∠ACB=∠PBD+45°，
∠PDE=∠PDC+∠BDE=∠PDC+45°，
∴∠APB=∠PDE．
在△BPO和△PDE中
∠APB＝∠PDE
∠BOP＝∠PED
PB＝PD，
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
∴OP=DE．
综上所述：OP=DE，OP⊥DE．
点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质．
考点点评： 本题考查等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，垂直的性质的运用，平行线的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．