Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x-y+1=0．（1）若x＝23时，函

Answer 1

（1）由f（x）=x³+ax²+bx+c，得f′（x）=3x²+2ax+b．

当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．①

当x=[2/3]时，y=f（x）有极值，则f′（[2/3]）=0，可得4a+3b+4=0．②

由①、②解得a=2，b=-4．

由于l上的切点的横坐标为x=1，∴f（1）=4，∴1+a+b+c=4，∴c=5．

∴f（x）=x³+2x²-4x+5．…（6分）

（2）由（1）得

2a+b＝0

1+a+b+c＝4，∴

b＝?2a

c＝a+3，

∴h(x)＝x3+

a

2x2?2a2x+a+3．

则h′（x）=3x²+ax-2a²=（x+a）（3x-2a）．

①当a=0时，h′（x）≥0恒成立，∴h（x）在R上单调递增；

②当a＞0时，令h′（x）＞0，解得x＜-a或x＞

2

3a，∴h（x）的单调递增区间是（-∞，-a）和(

2

3a，+∞)；

③当a＜0时，令h′（x）＞0，解得x＜

2

3a或x＞-a，∴h（x）的单调递增区间是(?∞，

2

3a)和（-a，+∞）． …（12分）