F 为抛物线 y^2=4x 焦点 顶点 A (3,-2) P 为抛物线 y^2=4x上一点 则|PF|+|PA|的最小值

2个回答

  • y²=4x得F(1,0)

    |PF|+|PA|≥2√(|PF|•|PA|),当且仅当|PF|=|PA|时取等号,即当|PF|=|PA|时,|PF|+|PA|有最小值

    |PF|=|PA|,则P在|AF|的垂直平分线上

    F(1,0),A(3,-2)可得|AF|的方程y=-x+1,x∈[1,3]

    |AF|的斜率为-1则垂直于|AF|的直线的斜率为1

    F(1,0),A(3,-2)可得|AF|的中点(2,-1)

    斜率为1,且过点(2,-1)的直线的方程为y=x-3

    当|PF|=|PA|取最小值时,P即y²=4x与y=x-3点交点

    (x-3)²=4x

    x²-10x+9=0

    (x-1)(x-9)=0

    x=1

    y=-2

    P(1,-2),

    |PF|=|PA|=√[(1-1)²+(-2-0)²]=2

    |PF|+|PA|的最小值为4