1、
ABCD共圆推出A+C=B+D=180利用圆周角定理容易证明.
反之,四边形ABCD中A+C=B+D=180,我们要证明ABCD共圆.
过ABC做圆,那么D点的位置有三种可能：在圆上、在圆内、在圆外.
如果D在圆内,那么延长AD交圆于E,连结CE.
容易知道,ADC+B>E+B=180,与B+D=180矛盾.
如果D在圆外,那么AD和CD必然与圆有交点（或切点）,亦容易证明D+B=BC.
因此,唯一的可能性是BCC'共线.
然而C和C'都在DE上,两直线BC和DE的交点只能有一个.
所以C和C'重合.
综上可知,BC确实是圆O的切线,从而四边形ABCD拥有内切圆O.证毕.