Question

假定X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本；已知E（Xk）=ak（k=1，2，3，4）．证明：当n充分大时，随机

Answer 1

解题思路：根据列维-林德伯格中心极限定理，只需证明出EZ_n和DZ_n都存在，且

X

i

2

（i=1，2，…，n）是独立同分布的即可，参数也在证明的过程中得出．

由题意，知X₁，X₂，…，X_n独立同分布，因此X12，X22，…，Xn2独立同分布

又已知E（X^k）=a_k（k=1，2，3，4）．

∴EXi2＝α2

∴DXi2＝E(Xi4)−[EXi2]2＝α4−α22

∴EZn＝

1

n

n

i＝1EXi2＝α2，DZn＝

1

n2

n

i＝1DXi2＝

1

n(α4−α22)

∴由中心极限定理，知

Un＝

Zn−EZn

DZn＝

Zn−α2

α4−α22

n

的极限分布是标准正态分布，即当n充分大时，Z_n近似服从参数

(α

点评：

本题考点： 中心极限定理的应用；正态分布的数学期望和方差．

考点点评： 此题考查列维-林德伯格中心极限定理，只要对这一定理熟悉会计算期望和方差，就可以选出答案．