Question

函数竞赛题已知f（x）在定义域（0,+∞）上是单调递增函数,f（x）f[f（x）+1/x]=1（x＞0）,求f（1）=

Answer 1

因为f(x)在(0,+∞)单调递增,又f(x)f[f(x)+1/x]=1,所以x和f(x)+1/x互为倒数.（否则乘积不会是1）

设a/x=f(x)+1/x,则f(x)=(a-1)/x

代入关系式化简得：a^2-3a+1=0,求得a=(3±√5)/2.因为f(x)为单调递增函数,所以a-1＜0,所以f(x)=[(3-√5)/2-1]/x=(1-√5)/2x

所以,f(1)=(1-√5)/2