已知椭圆c:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>1,b>0)经过a(2,1),离心率为根2/2过b(3,0)的直线与

1个回答

  • :(Ⅰ)由离心率为√2/2,可设c=

    √2t, a=2t,则b=

    √2t

    因为x²/a²+

    y²/b²=1(a>b>0)经过点A(2,1)

    所以4/4t²+

    1/2t²=1,解得t²=

    3/2,所以a²=6,b²=3

    所以椭圆方程为x²/6+

    y²/3=1

    (Ⅱ)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-3),

    直线l与椭圆的交点坐标为M(x1,y1),N(x2,y2)

    由y=k(x-3),x²/6+

    y²/3=1,消元整理得:(1+2k2)x2-12k2x+18k2-6=0

    △=(12k²)²-4(1+2k²),(18k²-6)>0得 0≤k²<1

    x1+x2=

    12k²/1+2k²,x1x2=

    18k²-6/1+2k²

    ∴BM•

    BN=(x1-3,y1)•(x2-3,y2)=(x1-3)·(x2-3)+y1y2

    =(1+k²)[x1x2-3(x1+x2)+9]=(1+k²)×

    3/1+2k²=3/2(1+

    11+2k²)

    因为0≤k²<1,所以2<

    3/2(1+

    1/1+2k²)≤3

    所以BM•

    BN的取值范围是(2,3].