Question

函数y=(4-x^2)^1/2的面积,不用图形算,用定积分,怎么求?很好奇用

Answer 1

都没有上下限,怎么求定积分?

不定积分:

∫√(4-x²)dx,令x=2sinθ,dx=2cosθdθ

=∫2cosθ√(4-4sin²θ)dθ

=4∫cos²θdθ

=4∫(1+cos2θ)/2 dθ

=2∫dθ +2∫cos2θdθ

=2θ+∫cos2θd(2θ)

=2θ+sin2θ+C

=2arcsin(x/2)+2sinθcosθ+C

=2arcsin(x/2)+2·x/2·√(2²-x²)/2+C

=2arcsin(x/2)+(x/2)√(4-x²)+C

要求定积分的面积,只需将上下限代入便可.