Question

正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为1，此时四面体ABCD外接球表面积为 ___ ．

Answer 1

解题思路：三棱锥B-ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．

根据题意可知三棱锥B-ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的中，底面边长为1，棱柱的高为

3，

由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，

∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的球心为O，外接球的半径为r，表面积为：4πr²．

球心到底面的距离为1，

底面中心到底面三角形的顶点的距离为：[2/3]×

3

2×1=

3

3，

所以球的半径为r=

(

3

3)2+(

3

2)2=

13

12．

外接球的表面积为：4πr²=[13/3]π

故答案为：[13/3]π．

点评：

本题考点： 球的体积和表面积；球内接多面体．

考点点评： 本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．