Question

设数列{an}是有穷等差数列，给出下面数表：上表共有n行，其中第1行的n个数为a1，a2，a3，…，an，从第二行起，每

Answer 1

解题思路：（1）要证数列b₁，b₂，…，b_n成等比数列，只需证

b

k+1

b

k

为常数即可，所以用数列{a_n}中的项表示{b_n}中项，再求

b

k+1

b

k

．

（2）先由（1）和a_k=2k-1（k=1，2，…，n），求数列{b_n}的通项公式，再代入

n

k＝1

a

k

b

k

，再用裂项相消求和即可．

（1）由题设易知，b1＝

n(a1+an)

2n＝

a1+an

2，b2＝

(a1+a2+…+an−1+an)(n−1)

2(n−1)＝

a1+a2+an−1+an

2＝a1+an．

设表中的第k（1≤k≤n-1）行的数为c₁，c₂，…，c_n-k+1，显然c₁，c₂，…，c_n-k+1成等差数列，则它的第k+1行的数是c₁+c₂，c₂+c₃，…，c_n-k+c_n-k+1也成等差数列，它们的平均数分别是bk＝

c1+cn−k+1

2，b_k+1=c₁+c_n-k+1，于是

bk+1

bk＝2(1≤k≤n−1，k∈N*)．

故数列b₁，b₂，…，b_n是公比为2的等比数列．

（2）由（1）知，bk＝b1 • 2k−1＝

a1+an

2 • 2k−1，

故当a_k=2k-1时，b_k=n•2^k-1，a_k•b_k=n（2k-1）•2^k-1（1≤k≤n，k∈N^*）．

于是

n

k＝1akbk=n

n

k＝1(2k−1) • 2k−1．

设

n

k＝1(2k−1) • 2k−1＝S，

则S=1×2⁰+3×2¹+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1①2S=1×2¹+3×2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ②

①-②得，-S=1×2⁰+2（2¹+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，

化简得，S=（2n-1）•2ⁿ-2ⁿ⁺¹+3，

故

n

k＝1akbk=n（2n-1）•2n-n•2ⁿ⁺¹+3n．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查了等比数列的证明，以及裂项相消求和，做题时需认真观察，找出正确方法．